指数和对数比大小的题型一例

例：设 $a=\log_{0.3}{4}$ ， $b=\log_{0.3}{0.4}$ ， $c=0.3^{-0.4}$ ，则（　　）

A. $a<b<c$ 　　B. $a<c<b$ 　　C. $c<b<a$ 　　D. $b<a<c$

【分析】 指数和对数比大小的题型，主要解题思路：

根据指数函数和对数函数的单调性来求解，
指数函数 $y=a^x$ 过定点 $(0,1)$ 、 $(1,a)$ ，对数函数 $y=\log_a x$ 过定点 $(1,0)$ 、 $(a,1)$ ，根据这两条性质，将题给数据与特殊值（0、1、 $a$ 、 $e$ ……) 比较。

【解】 令 $f(x)=\log_{0.3}{x}$ ，显然它是减函数，而且 $f(0.3)=1$ ，所以 $a=f(4)<f(0.4)=b<f(0.3)=1$ 。令 $g(x)=0.3^x$ ，显然它也是减函数，而且 $g(0)=1$ ，所以 $c=g(-0.4)>g(0)=1$ 。综上，有 $a<b<1<c$ ，选 A。