积化和差公式试题一例

已知 $\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$，且 $\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$，$\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\frac{5}{13}$，那么 $\cos2\alpha=$（　　）

A. $\displaystyle \frac{63}{65}$　　B. $\displaystyle -\frac{63}{65}$　　C. $\displaystyle \frac{33}{65}$　　D. $\displaystyle \frac{56}{65}$ 或 $\displaystyle -\frac{16}{65}$

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【分析】 首先分析题干与待求问题之间的联系，容易看出 $2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)$。那么我们怎样才能让 $\cos(\alpha+\beta)$ 和 $\sin(\alpha-\beta)$ 函数括号里的角相加？可以考虑 积化和差公式。

$\displaystyle \sin(\alpha+\beta)\sin(\alpha-\beta)=-\frac{cos2\alpha-cos2\beta}{2}$

$\displaystyle \cos(\alpha+\beta)\cos(\alpha-\beta)=\frac{cos2\alpha+cos2\beta}{2}$

这样，我们还得根据题给条件把 $\sin(\alpha+\beta)$ 和 $\cos(\alpha-\beta)$ 求出来，代入上述两式，就可以解得 $\cos2\alpha$了。

【解】 令 $x=\alpha+\beta$，$y=\alpha-\beta$

则有 $x+y=2\alpha$，$x-y=2\beta$

因为 $\displaystyle 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 而且 $\cos x>0$，所以 $\displaystyle 0<x<\frac{\pi}{2}$

又因为 $\sin y>0$，所以 $\displaystyle 0<y<\frac{\pi}{2}$

由三角函数平方关系式，

$\displaystyle \sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\frac{3}{5}$

$\displaystyle \cos y=\sqrt{1-\sin^2 y}=\frac{12}{13}$

由积化和差公式，

$\displaystyle \sin x\sin y=-\frac{\cos(x+y)-\cos(x-y)}{2}=\frac{15}{65}$

$\displaystyle \cos x\cos y=\frac{\cos(x+y)+\cos(x-y)}{2}=\frac{48}{65}$

联立上述两式，消去 $\cos(x-y)$ ，解得 $\displaystyle \cos(x+y)=\cos2\alpha=\frac{33}{65}$

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题图：自制。

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