初中不讲，但高中必须掌握的乘法公式

初中不讲，但高中必须掌握的乘法公式，大学高数也能用到。收藏起来先！

1. 八个基本乘法公式

1. 平方差公式（这个初中讲过）：$\displaystyle a^2-b^2=(a+b)(a-b)$
2. 完全平方和公式（这个初中也讲过）：$\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
3. 完全平方差公式（这个初中也讲过）：$\displaystyle (a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
4. 立方和公式：$\displaystyle a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$
5. 立方差公式：$\displaystyle a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$
6. 三数和的平方公式：$\displaystyle (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)$
7. 两数和的立方公式：$\displaystyle (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
8. 两数差的立方公式：$\displaystyle (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$

2. 两数之和、差、积、平方和的变换

在上述 8 个公式的基础上，在高中阶段，我们还要掌握 $a+b$、$a-b$、$ab$ 与 $a^2+b^2$ 的变换。这些变换可以用于配方、因式分解，结合韦达定理，可以用于讨论二次方程的根、讨论直线与圆锥曲线的交点。

1. 对 $a+b$ 的变换

$$\begin{split} (a+b)^2 & = a^2+b^2+2ab \qquad \text{（用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示）} \\ & = (a-b)^2+4ab \qquad \text{（用} \enspace a-b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示）} \\ & = 2(a^2+b^2)-(a-b)^2 \qquad \text{（用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示）} \end{split}$$

2. 对 $a-b$ 的变换

$$\begin{split} (a-b)^2 & = a^2+b^2-2ab \qquad \text{（用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示）} \\ & = (a+b)^2-4ab \qquad \text{（用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示）} \\ & = 2(a^2+b^2)-(a+b)^2 \qquad \text{（用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace a+b \enspace \text{来表示）} \end{split}$$

3. 对 $a^2+b^2$ 的变换

$$\begin{split} a^2+b^2 & = (a+b)^2-2ab \qquad \text{（用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示）} \\ & =(a-b)^2+2ab \qquad \text{（用} \enspace a-b \enspace \text{与} \enspace ab \enspace \text{来表示）} \\ & = \frac{(a+b)^2+(a-b)^2}{2} \qquad \text{（用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示）} \end{split}$$

4. 对 $ab$ 的变换

$$\begin{split} ab & = \frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2} \qquad \text{（用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{来表示）} \\ & = \frac{(a^2+b^2)-(a-b)^2}{2} \qquad \text{（用} \enspace a^2+b^2 \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示）} \\ & = \frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4} \qquad \text{（用} \enspace a+b \enspace \text{与} \enspace a-b \enspace \text{来表示）} \end{split}$$

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题图： "maths" by Sean MacEntee is licensed under CC BY 2.0 .

头图：Image by peritas from Pixabay