指数和对数比大小的题型一例

例：设 $a=\log_{0.3}{4}$，$b=\log_{0.3}{0.4}$，$c=0.3^{-0.4}$，则（　　）

A. $a<b<c$　　B. $a<c<b$　　C. $c<b<a$　　D. $b<a<c$

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【分析】 指数和对数比大小的题型，主要解题思路：

1. 根据指数函数和对数函数的单调性来求解，
2. 指数函数 $y=a^x$ 过定点 $(0,1)$、$(1,a)$，对数函数 $y=\log_a x$ 过定点 $(1,0)$、$(a,1)$，根据这两条性质，将题给数据与特殊值（0、1、$a$、$e$……) 比较。

【解】 令 $f(x)=\log_{0.3}{x}$，显然它是减函数，而且 $f(0.3)=1$，所以 $a=f(4)<f(0.4)=b<f(0.3)=1$。令 $g(x)=0.3^x$，显然它也是减函数，而且 $g(0)=1$，所以 $c=g(-0.4)>g(0)=1$。综上，有 $a<b<1<c$，选 A。

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