一道高考数学不等式题的一题多解

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一道高考数学不等式题的一题多解

有很多高考题至少有两种解法。其中一种比较容易想到，但是计算量比较大。另一种不太容易想到，但是计算量相对较小。这种题目的目的是，筛选计算功底扎实的考生，或者筛选数学思维优秀的考生。

【例题】（2005 福建）设 $a, b \in \mathrm{R}$ ， $a^2+2b^2=6$ ，则 $a+b$ 的最小值是____。

A. $-2\sqrt{2}$ 　　B. $-\dfrac{5\sqrt{3}}{3}$ 　　C. $-3$ 　　D. $-\dfrac{7}{2}$

【解法 1：参数方程法】分析题给条件和待求结论，发现它们没有直接联系。从 $a^2+2b^2=6$ 出发，我们首先想到椭圆的标准方程。这样可以把 $a$ 、 $b$ 视为椭圆上任一点的横纵坐标，对横纵坐标求和，可以用参数方程。这样就得到了思路：椭圆的参数方程。

对 $a^2+2b^2=6$ 两边同除以 6，得 $\dfrac{a^2}{6}+\dfrac{b^2}{3}=1$ ，显然这是个椭圆的标准方程，其参数方程是 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} a=\sqrt{6}\cos\theta \\ b=\sqrt{3}\sin\theta \end{array}\right.$ ，所以 $a+b= \sqrt{6}\cos\theta+\sqrt{3}\sin\theta=3\sin(\theta+\varphi)\in [-3,3]$ ，其中 $\tan\varphi=\sqrt{2}$ 。答案选 C。

【解法 2：柯西不等式法】分析题给条件和待求结论，发现它们没有直接联系。从 $a^2+2b^2=6$ 出发，我们可以想到柯西不等式： $(x_{1}^{2}+y _{1}^{2}) \cdot ( x_{2}^{2}+y _{2}^{2}) \geq (x_1x_2+y_1y_2)^2$ ，当 $x_1y_2=x_2y_1$ 时取等号。

设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_1=a \\ y_1=\sqrt{2}b \end{array}\right.$ ，又设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_1x_2=a \\ y_1y_2=b \end{array}\right.$ ，可解得 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l} x_2=1 \\ y_2=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array}\right.$ 。将上述变量代入柯西不等式，然后把不等式左右两边调换一下，得 $(a+b)^2 \leq (a^2+2b^2)(1+\dfrac{1}{2})=9$ ，所以 $-3 \leq a+b \leq 3$ 。答案选 C。