做完这 30 道题，高一基本不等式就稳了

一、必会的基础知识

基本不等式实现了和与积之间的相互转化，是求最值的重要依据。

1. 平方和与积的关系：当 $a$，$b\mathbb{\in R}$ 时，$a^{2} + b^{2} \geq 2ab$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

2. 和与积的关系：当 $a$，$b > 0$ 时，$a + b \geq 2\sqrt{ab}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

3. 平方和与和的关系：$\dfrac{a^{2} + b^{2}}{2} \geq \left( \dfrac{a + b}{2} \right)^{2}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

4. 均值不等式链：$\dfrac{2}{\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}} \leq \sqrt{ab} \leq \dfrac{a+b}{2} \leq \dfrac{a^2+b^2}{2}$，当且仅当 $a = b$ 时取等号。

二、 利用基本不等式求最值的条件

1. “一正”：$a > 0$，$b > 0$。

2. “二定”：

   1. 当 $ab$ 之积为定值时，$a + b$ 的和有最小值 $a + b \geq 2\sqrt{ab}$；

   2. 当 $a + b$ 之和为定值时，$ab$ 的积有最大值 $ab \leq \left( \dfrac{a + b}{2} \right)^{2}$。

3. “三相等”：当 $a = b$ 时取等号。

三、 基本不等式求最值的常见题型与解法

(一) 直接使用基本不等式

1. 若 $x > 0$，则 $x + \dfrac{9}{x}$ 的最小值是________。
   解：$x + \dfrac{9}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \dfrac{9}{x}} = 2\sqrt{9} = 6$。当且仅当 $x = \dfrac{9}{x}$，即 $x = 3$ 时取“=”。

2. 若 $x < 0$，则 $x + \dfrac{9}{x}$ 的最大值是________。
   解：$\because x < 0$，$\therefore - x > 0$，$\therefore x + \dfrac{9}{x} = - \left\lbrack ( - x) + \left( - \dfrac{9}{x} \right) \right\rbrack \leq - 2\sqrt{( - x) \cdot \left( - \dfrac{9}{x} \right)} = - 2\sqrt{9} = - 6$。当且仅当 $- x = - \dfrac{9}{x}$，即 $x = - 3$ 时取“=”。

3. 若实数 $x，y$ 满足 $xy = 1$，则 $2x^{2} + 3y^{2}$ 的最小值为_______。
   解：$2x^{2} + 3y^{2} \geq 2\sqrt{2x^{2}3y^{2}} = 2\sqrt{6x^{2}y^{2}} = 2\sqrt{6}$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & 2x^{2} = 3y^{2} \\ & xy = 1 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = \sqrt[4]{\dfrac{3}{2}\ } \\ & y = \sqrt[4]{\dfrac{2}{3}} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

4. 已知实数 $x，y$ 满足 $2x + y = 2$，则 $9^{x} + 3^{y}$ 的最小值为_______。
   解：$9^{x} + 3^{y} = 3^{2x} + 3^{y} \geq 2\sqrt{3^{2x} \bullet 3^{y}} = 2\sqrt{3^{2x + y}} = 2\sqrt{3^{2}} = 6$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & 3^{2x} = 3^{y} \\ & 2x + y = 2 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = \dfrac{1}{2} \\ & y = 1 \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

5. 已知正数 $a，b$ 满足 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} = 1$，则 $ab$ 最小值为_______。
   解：$1 = \ \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} \geq 2\sqrt{\dfrac{2}{ab}}$，两边平方得 $1 \geq \dfrac{8}{ab}$，即 $ab \geq 8$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b} \\ & \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} = 1 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & a = 2 \\ & b = 4 \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

(二) 配凑法

当和或积不是定值时，设法将其凑成定值，再利用基本不等式求最值。

6. 已知 $x > 2$，则 $x + \dfrac{4}{x - 2}$ 的最小值为________。
   解：原式 $= x - 2 + \dfrac{4}{x - 2} + 2 \geq 2\sqrt{(x - 2) \cdot \dfrac{4}{x - 2}} + 2 = 4$。当且仅当 $x - 2 = \dfrac{4}{x - 2}$，即 $x = 4$ 时取“=”。

7. 若 $x > 0$，则 $4x + \dfrac{4}{2x + 1}$ 的最小值为________。
   解：原式$= 2(2x + 1) + \dfrac{4}{2x + 1} - 2 \geq \sqrt{2 \cdot (2x + 1) \cdot \dfrac{4}{2x + 1}} - 2 = 4\sqrt{2} - 2$。当且仅当 $2(2x + 1) = \dfrac{4}{2x + 1}$，即 $x = \dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}$ 时取“=”。

8. 若 $4x > y > 0$，则 $\dfrac{y}{4x - y} + \dfrac{x}{y}$ 的最小值为________。
   解：$\because\dfrac{4x - y}{y} = \dfrac{4x}{y} - 1$，$\therefore\dfrac{x}{y} = \dfrac{1}{4}\left( \dfrac{4x - y}{y} + 1 \right) = \dfrac{4x - y}{4y} + \dfrac{1}{4}$， 原式$= \dfrac{y}{4x - y} + \dfrac{4x - y}{4y} + \dfrac{1}{4} \geq 2\sqrt{\dfrac{y}{4x - y} \cdot \dfrac{4x - y}{4y}} + \dfrac{1}{4} = 1 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$。当且仅当 $\dfrac{y}{4x - y} = \dfrac{4x - y}{4y}$，即 $3x = 4y$ 时取“=”。

9. 若 $0 < x < 4$，则 $x(8 - 2x)$ 的最大值是________。
   解：$\because 0 < x < 4$，$\therefore 8 - 2x > 0$，原式$= \dfrac{1}{2} \cdot 2x \cdot (8 - 2x) \leq \dfrac{1}{2} \cdot \left( \dfrac{2x + 8 - 2x}{2} \right)^{2} = 8$。当且仅当 $2x = 8 - 2x$，即 $x = 2$ 时取“=”。

(三) “1”的代换

一般条件和问题中，一个是整式结构，一个是分式结构，求最值时往往会用到“1”的代换。

10. 已知实数 $a$，$b > 0$， $\dfrac{3}{b} + \dfrac{2}{a} = 1$，则 $2a + 3b$ 的最小值是________。
    解：原式$= (2a + 3b)\left( \dfrac{3}{b} + \dfrac{2}{a} \right) = \dfrac{6a}{b} + 4 + 9 + \dfrac{6b}{a} \geq 13 + 2\sqrt{\dfrac{6a}{b} \cdot \dfrac{6b}{a}} = 25$。当且仅当 $\dfrac{6a}{b} = \dfrac{6b}{a}$，且 $\dfrac{3}{b} + \dfrac{2}{a} = 1$ 时，即 $a = b = 5$ 时取“=”。

11. 已知实数 $x$，$y > 0$，且满足 $x + y = 1$，则 $\dfrac{2}{x} + \dfrac{x}{y}$ 的最小值是________。
    解：原式$= \dfrac{2(x + y)}{x} + \dfrac{x}{y} = 1 + \dfrac{2y}{x} + \dfrac{x}{y} \geq 1 + 2\sqrt{\dfrac{2y}{x} \cdot \dfrac{x}{y}} = 1 + 2\sqrt{2}$。当且仅当 $\dfrac{2y}{x} = \dfrac{x}{y}$ 且 $x + y = 1$ 时，即 $x = 2 - \sqrt{2}$，$y = \sqrt{2} - 1$ 时取“=”。

12. 已知 $a$，$b$ 都是正数，且 $a + 2b = 3ab$，则 $ab$ 的最小值为________。
    解：左右同除以 $ab$，得到 $\dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{a} = 3$，则有 $ab = \dfrac{1}{3}(a + 2b) \cdot \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{a} \right) = \dfrac{1}{9}(a + 2b)\left( \dfrac{1}{b} + \dfrac{2}{a} \right) = \dfrac{1}{9}\left( \dfrac{a}{b} + 2 + 2 + \dfrac{4b}{a} \right) \geq \dfrac{1}{9}\left( 4 + 2\sqrt{\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{4b}{a}} \right) = \dfrac{8}{9}$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{a}{b} = \dfrac{4b}{a} \\ & a + 2b = 3ab \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{array}{r} a = \dfrac{4}{3} \\ b = \dfrac{2}{3} \end{array} \right.$ 时取“=”。
    补充解法二（直接运用基本不等式+换元）：$3ab = a + 2b \geq 2\sqrt{2ab}$，令 $t = \sqrt{ab}\ \ (t > 0)$，得 $3t^{2} \geq 2\sqrt{2} \cdot t$，解得 $t \geq \dfrac{2\sqrt{2}}{3}$，$\therefore ab = t^{2} \geq \dfrac{8}{9}$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & a = 2b \\ & 3ab = a + 2b \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{array}{r} a = \dfrac{4}{3} \\ b = \dfrac{2}{3} \end{array} \right.$ 时取“=”。

13. 若 $0 < x < \dfrac{1}{2}$，则 $\dfrac{2}{x} + \dfrac{9}{1 - 2x}$ 的最小值为________。
    解：$\because 0 < x < \dfrac{1}{2}$，$\therefore 1 - 2x > 0$，$2x + 1 - 2x = 1$。原式$= \left( \dfrac{2}{x} + \dfrac{9}{1 - 2x} \right)\left\lbrack 2x + (1 - 2x) \right\rbrack = 4 + \dfrac{2(1 - 2x)}{x} + \dfrac{9x}{1 - 2x} + 9 \geq 13 + 2\sqrt{\dfrac{2(1 - 2x)}{x} \cdot \dfrac{18x}{1 - 2x}} = 25$。当且仅当 $\dfrac{2(1 - 2x)}{x} = \dfrac{18x}{1 - 2x}$ ，即 $x = \dfrac{1}{5}$ 时取“=”。

14. 若 $x > 0$，$y > 0$，且 $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}$，则 $x + y$ 最小值为________。
    解：$x + y = (x + 1) + y - 1 = 2 \cdot \left\lbrack (x + 1) + y \right\rbrack\left( \dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{y} \right) - 1 \geq 2\left( 1 + \dfrac{x + 1}{y} + \dfrac{y}{x + 1} + 1 \right) - 1 \geq 2\left( 2 + 2\sqrt{\dfrac{x + 1}{y} \cdot \dfrac{y}{x + 1}} \right) - 1 = 7$。当且仅当 $\dfrac{x + 1}{y} = \dfrac{y}{x + 1}$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = 3 \\ & y = 4 \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

15. 已知正实数 $a$，$b$ 满足 $a + b = 1$，则 $\dfrac{a^{2} + 4}{a} + \dfrac{b^{2} + 1}{b}$ 的最小值为______。
    解：$\dfrac{a^{2} + 4}{a} + \dfrac{b^{2} + 1}{b} = a + \dfrac{4}{a} + b + \dfrac{1}{b} = \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} + 1 = \left( \dfrac{4}{a} + \dfrac{1}{b} \right)(a + b) + 1 = 4 + \dfrac{4b}{a} + \dfrac{a}{b} + 1 + 1 \geq 2\sqrt{\dfrac{4b}{a} + \dfrac{a}{b}} + 6 = 10$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{4b}{a} = \dfrac{a}{b} \\ & a + b = 1 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & a = \dfrac{2}{3} \\ & b = \dfrac{1}{3} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

16. 已知 $x > 0$，$y > 0$，$x + y = 1$，则 $\dfrac{2x^{2} + x + 1}{xy}$ 的最小值为______。
    解：$\dfrac{2x^{2} + x + 1}{xy} = \dfrac{2x^{2} + x(x + y) + (x + y)^{2}}{xy} = \dfrac{4x^{2} + 3xy + y^{2}}{xy} = \dfrac{4x}{y} + 3 + \dfrac{y}{x} \geq 2\sqrt{\dfrac{4x}{y} \cdot \dfrac{y}{x}} + 3 = 7$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{4x}{y} = \dfrac{y}{x} \\ & x + y = 1 \end{aligned} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = \dfrac{1}{3} \\ & y = \dfrac{2}{3} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

(四) 换元法

可以把比较复杂的分式中的分子或分母替换成单个字母。

17. 若 $x > 0$，$y > 0$，且 $\dfrac{1}{x + 1} + \dfrac{1}{x + 2y} = 1$，则 $2x + y$ 的最小值是______。
    解：令 $\left\{ \begin{aligned} & x + 1 = m \\ & x + 2y = n \end{aligned} \right.$，解得 $\left\{ \begin{aligned} & x = m - 1 \\ & y = \dfrac{n - m + 1}{2} \end{aligned} \right.$，由已知得 $\dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = 1$，则 $2x + y = 2(m - 1) + \dfrac{1}{2}(n - m + 1) = \dfrac{3m}{2} + \dfrac{n}{2} - \dfrac{3}{2} = \left( \dfrac{3m}{2} + \dfrac{n}{2} \right)\left( \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} \right) - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3m}{2n} + \dfrac{n}{2m} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}$ $\geq 2\sqrt{\dfrac{3m}{2n} \cdot \dfrac{n}{2m}} + \dfrac{1}{2} = \sqrt{3} + \dfrac{1}{2}$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{3m}{2n} = \dfrac{n}{2m} \\ & \dfrac{1}{m} + \dfrac{1}{n} = 1 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & m = \dfrac{3 + \sqrt{3}}{3} \\ & n = \sqrt{3} + 1 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ & y = \dfrac{2\sqrt{3} + 3}{6} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

18. 若 $x > 1$，则 $\dfrac{x^{2} + 8}{x - 1}$ 的最小值是________。
    解：令 $t = x - 1\ \ (t > 0)$，则 $x = t + 1$，原式$= \dfrac{(t + 1)^{2} + 8}{t} = \dfrac{t^{2} + 2t + 9}{t} = t + 2 + \dfrac{9}{t} \geq 2 + 2\sqrt{t \cdot \dfrac{9}{t}} = 8$。当且仅当 $t = \dfrac{9}{t}$ ，即 $x = 4$ 时取“=”。
    补充解法二（用配凑法分离常数）：原式$= \dfrac{(x - 1)^{2} + 2(x - 1) + 9}{x - 1} = (x - 1) + 2 + \dfrac{9}{x - 1} \geq 2 + 2\sqrt{(x - 1) \cdot \dfrac{9}{x - 1}} = 8$。当且仅当 $x - 1 = \dfrac{9}{x - 1}$，即 $x = 4$ 时取“=”。

19. 已知正实数 $x，y$ 满足 $x^{2} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1$，则 $x\sqrt{2 + y^{2}}$ 的最大值为_________。
    解：令 $\sqrt{2 + y^{2}} = m$，则 $y^{2} = m^{2} - 2$，代入已知，有 $x^{2} + \dfrac{m^{2} - 2}{16} = 1$， $\therefore{1 = x}^{2} + \dfrac{m^{2} - 2}{16} = x^{2} + \dfrac{m^{2}}{16} - \dfrac{1}{8} \geq 2\sqrt{x^{2} \cdot \dfrac{m^{2}}{16}} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{xm}{2} - \dfrac{1}{8}$，整理得
    $1 \geq \dfrac{xm}{2} - \dfrac{1}{8}$，$\therefore x\sqrt{2 + y^{2}} = xm \leq \dfrac{9}{4}$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & x^{2} = \dfrac{m^{2}}{16} \\ & x^{2} + \dfrac{m^{2} - 2}{16} = 1 \\ & y^{2} = m^{2} - 2 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = \dfrac{9}{16} \\ & y = \sqrt{7} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。
    补充解法二（整体代换）：由已知得 $x^{2} + \dfrac{y^{2} + 2}{16} = 1 + \dfrac{2}{16} = \dfrac{9}{8}$，所以 $\dfrac{9}{8} = x^{2} + \dfrac{y^{2} + 2}{16} \geq 2\sqrt{x^{2} \cdot \dfrac{y^{2} + 2}{16}} = \dfrac{2x\sqrt{2 + y^{2}}}{4}$，解得 $x\sqrt{2 + y^{2}} \leq \dfrac{9}{4}$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & x^{2} = \dfrac{y^{2} + 2}{16} \\ & x^{2} + \dfrac{y^{2}}{16} = 1 \end{aligned} \right.$ 即 $\left\{ \begin{aligned} & x = \dfrac{9}{16} \\ & y = \sqrt{7} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

(五) 消元法

可以根据已知条件，用一个字母表示另一个字母，从而消去一个字母。一般用于难以用前四种方法求解的求最值问题，往往与换元法合用。

20. 若正数 $x$，$y$ 满足 $x^{2} + xy - 3 = 0$，则 $4x + y$ 的最小值是_______。
    解：由已知 $y = \dfrac{3}{x} - x$，$4x + y = 4x + \dfrac{3}{x} - x = 3x + \dfrac{3}{x} \geq 2\sqrt{3x \cdot \dfrac{3}{x}} = 6$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & 3x = \dfrac{3}{x} \\ & y = \dfrac{3}{x} - x \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = 1 \\ & y = 2 \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

21. 若 $a$，$b$ 为正数，$a + b = 1$，则 $\dfrac{2a}{a^{2} + b} + \dfrac{b}{a + b^{2}}$ 的最大值是______。
    解：由已知得 $b = 1 - a$，则 $\dfrac{2a}{a^{2} + b} + \dfrac{b}{a + b^{2}} = \dfrac{2a}{a^{2} + 1 - a} + \dfrac{1 - a}{a^{2} + 1 - a} = \dfrac{a + 1}{a^{2} + 1 - a}$，令 $a + 1 = m$，则 $a = m - 1$，$\dfrac{a + 1}{a^{2} + 1 - a} = \dfrac{m}{m^{2} - 3m + 3} = \dfrac{1}{m - 3 + \dfrac{3}{m}} \leq \dfrac{1}{2\sqrt{m \cdot \dfrac{3}{m}} - 3} = \dfrac{1}{2\sqrt{3} - 3} = \dfrac{2}{3}\sqrt{3} + 1$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & m = \dfrac{3}{m} \\ & a = m - 1 \\ & b = 1 - a \end{aligned} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{aligned} & a = \sqrt{3} - 1 \\ & b = 2 - \sqrt{3} \end{aligned} \right.$ 时，取“=”。

22. 已知正实数 $a$，$b$ 满足 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2$，则 $\dfrac{3}{b + 1} - a$ 的最大值为________。
    解：由已知得 $\dfrac{1}{b} = 2 - \dfrac{1}{a}$，解得 $b = \dfrac{a}{2a - 1}$，则有 $\dfrac{3}{b + 1} - a = \dfrac{3}{\dfrac{a}{2a - 1} + 1} - a = \dfrac{3}{\dfrac{3a - 1}{2a - 1}} - a = \dfrac{6a - 3}{3a - 1} - a = \dfrac{6a - 2 - 1}{3a - 1} - a = \dfrac{2(3a - 1) - 1}{3a - 1} - a = 2 - \dfrac{1}{3a - 1} - a = 2 - \left( \dfrac{1}{3a - 1} + a - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3} \right) = \dfrac{5}{3} - \left( \dfrac{1}{3a - 1} + a - \dfrac{1}{3} \right) \leq \dfrac{5}{3} - 2\sqrt{\dfrac{1}{3\left( a - \dfrac{1}{3} \right)} \cdot \left( a - \dfrac{1}{3} \right)} = \dfrac{5 - 2\sqrt{3}}{3}$。当且仅当$\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{3\left( a - \dfrac{1}{3} \right)} = a - \dfrac{1}{3} \\ & \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 2 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & a = \dfrac{1 + \sqrt{3}}{3} \\ & b = \dfrac{3\sqrt{3} + 7}{11} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

(六) 因式分解法

一般适用于已知式可以因式分解成两个式子的积，而且这个积为定值，待求式为和式的情况。

23. 非负实数 $x$，$y$ 满足 $2xy + x + 6y - 6 = 0$，则 $x + 2y$ 的最小值为________。
    解：因式分解 $2xy + x + 6y - 6 = 0\ \Leftrightarrow \ \ 2y(x + 3) + x = 6\ \Leftrightarrow \ \ 2y(x + 3) + x + 3 = 9\ \Leftrightarrow \ \ (x + 3)(2y + 1) = 9$。$\therefore x + 2y = (x + 3) + (2y + 1) - 4 \geq 2\sqrt{(x + 3)(2y + 1)} - 4 = 2\sqrt{9} - 4 = 2$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & x + 3 = 2y + 1 \\ & (x + 3)(2y + 1) = 9 \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = 0 \\ & y = 1 \end{aligned} \right.$ 时，取“=”。

24. 已知 $x$，$y > 0$，$3xy - 2x + 3y = 4$，则 $x + 2y$ 的最小值是________。
    解：因式分解 $3xy - 2x + 3y = 4\ \Leftrightarrow \ \ x(3y - 2) + 3y = 4\ \Leftrightarrow \ \ x(3y - 2) + 3y - 2 = 2\ \Leftrightarrow \ \ (x + 1)(3y - 2) = 2\ \Leftrightarrow \ \ (x + 1) \cdot \dfrac{2}{3} \cdot (3y - 2) = \dfrac{4}{3} \Leftrightarrow \ \ (x + 1)\left( 2y - \dfrac{4}{3} \right) = \dfrac{4}{3}$。$\therefore x + 2y = (x + 1) + \left( 2y - \dfrac{4}{3} \right) + \dfrac{1}{3} \geq 2\sqrt{(x + 1)\left( 2y - \dfrac{4}{3} \right)} + \dfrac{1}{3} = 2 \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 + 4\sqrt{3}}{3}$。当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & x + 1 = 2y - \dfrac{4}{3} \\ & (x + 1)\left( 2y - \dfrac{4}{3} \right) = \dfrac{4}{3} \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = \dfrac{2\sqrt{3} - 3}{3} \\ & y = \dfrac{2\sqrt{3} + 4}{6} \end{aligned} \right.$ 时取“=”。
    补充：$axy + bx + cy = d$型式子因式分解凑积为定值的通法，以本题为例。不妨设 $m > 0$，$n > 0$，$p > 0$，令 $p = (x + m)(2y + n) = 2xy + nx + 2my + mn$，整理得 $3xy + \dfrac{3nx}{2} + 3my = \dfrac{3p}{2} - \dfrac{3mn}{2}$。与 $3xy - 2x + 3y = 4$ 比较系数，可知 $\left\{ \begin{aligned} & m = 1 \\ & n = - \dfrac{4}{3} \\ & p = \dfrac{4}{3} \end{aligned} \right.$，$\therefore(x + 1)\left( 2y - \dfrac{4}{3} \right) = \dfrac{4}{3}$。此方法又称为“西蒙最爱的因式分解技巧”。

25. 已知 $a，b > 0$，且 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 1$，则 $\dfrac{4a}{a - 1} + \dfrac{9b}{b - 1}$ 的最小值是________。
    解：$\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 1\ \Leftrightarrow \ \ a + b = ab\ \Leftrightarrow \ a + b - ab = 0\ \Leftrightarrow \ a(1 - b) + b = 0\ \Leftrightarrow \ a(1 - b) + b - 1 = - 1\ \Leftrightarrow (a - 1)(1 - b) = - 1\ \Leftrightarrow (a - 1)(b - 1) = 1$，令 $a - 1 = m，b - 1 = n$，有$\dfrac{4a}{a - 1} + \dfrac{9b}{b - 1} = \dfrac{4(m + 1)}{m} + \dfrac{9(n + 1)}{n} = 4 + \dfrac{4}{m} + 9 + \dfrac{9}{n} \geq 13 + 2\sqrt{\dfrac{4}{m} \cdot \dfrac{9}{n}} = 25$，当且仅当 $\dfrac{4}{m} = \dfrac{9}{n}$，即 $n^{2} = \dfrac{9}{4}，m^{2} = \dfrac{4}{9}$ 时取“=”。

(七) 万能 $k$ 值法

适用于以上六种解法难以解出的题。步骤如下：①求谁设谁，②代入消元，③判别式求值。

26. 已知 $x^{2} + y^{2} + xy = 1$，则 $2x + y$ 的最大值是________。
    解：设 $2x + y = k$，则 $y = k - 2x$，代入已知式得 $x^{2} + 4x^{2} - 4kx + k^{2} - 2x^{2} + kx - 1 = 0$，整理得 $3x^{2} - 3kx + k^{2} - 1 = 0$。$\because x$ 存在，$\therefore\Delta = (3k)^{2} - 4 \times 3\left( k^{2} - 1 \right) = - 3k^{2} + 12 \geq 0$，解得 $- 2 \leq k \leq 2$，$\therefore 2k + y$ 的最大值是 $2$。

(八) 多次利用基本不等式

每次使用基本不等式都要注意取“=”的条件，要把所有的条件都作为方程，列出一个方程组。一般来说，每个字母是一个元，元的个数=基本不等式的使用次数=方程的个数。

27. 已知 $a$，$b$，$c$ 是正数，则 $\dfrac{ab + bc}{a^{2} + 2b^{2} + c^{2}}$ 的最大值为________。**
    解**：${\because a}^{2} + b^{2} \geq 2ab$，$b^{2} + c^{2} \geq 2bc$，$\therefore a^{2} + 2b^{2} + c^{2} \geq 2(ab + bc)$，即 $\dfrac{ab + bc}{a^{2} + 2b^{2} + c^{2}} \leq \dfrac{1}{2}$，当且仅当 $a = b = c$ 时取“=”。

28. 已知 $a > 0$，$b > 0$，则 $\dfrac{1}{a} + \dfrac{a}{b^{2}} + b$ 的最小值为________。
    解：$\dfrac{1}{a} + \dfrac{a}{b^{2}} + b \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{a}{b^{2}}} + b = \dfrac{2}{b} + b \geq 2\sqrt{2}$，当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & \dfrac{1}{a} = \dfrac{a}{b^{2}} \\ & \dfrac{2}{b} = b \end{aligned} \right.$ ，即 $a = b = \sqrt{2}$ 时，取“=”。

29. 若 $a$，$b\mathbb{\in R}$，$ab > 0$，则 $\dfrac{a^{4} + 4b^{4} + 1}{ab}$ 的最小值为______。
    解：$\dfrac{a^{4} + 4b^{4} + 1}{ab} \geq \dfrac{2\sqrt{a^{4} \cdot 4b^{4}} + 1}{ab} = \dfrac{4(ab)^{2} + 1}{ab} = 4ab + \dfrac{1}{ab} \geq 2\sqrt{4ab \cdot \dfrac{1}{ab}} = 4$，当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & a^{4} = 4b^{4} \\ & 4ab = \dfrac{1}{ab} \end{aligned} \right.$，即 $\left\{ \begin{aligned} & a^{4} = \dfrac{1}{2} \\ & b^{4} = \dfrac{1}{8} \end{aligned} \right.$ 时，取“=”。

30. 已知 $x$，$y > 0$，则 $xy + \dfrac{1}{xy - y^{3}} + \dfrac{1}{y^{3}}$ 的最小值是________。
    解：$xy + \dfrac{1}{xy - y^{3}} + \dfrac{1}{y^{3}} = xy - y^{3} + \dfrac{1}{xy - y^{3}} + y^{3} + \dfrac{1}{y^{3}} \geq 2\sqrt{\left( xy - y^{3} \right) \cdot \dfrac{1}{xy - y^{3}}} + 2\sqrt{y^{3} \cdot \dfrac{1}{y^{3}}} = 4$，当且仅当 $\left\{ \begin{aligned} & \left( xy - y^{3} \right)^{2} = 1 \\ & y^{6} = 1 \end{aligned} \right.$ ，即 $\left\{ \begin{aligned} & x = 2 \\ & y = 1 \end{aligned} \right.$ 时取“=”。

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题图：AI 生成。

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