一道专升本模拟题难住一片大专生

证明方程 $x^3+x-1=0$ 至少有一个大于 0 的根。

其实这道题不难，但是因为高中不教反证法和零点定理，导致他们缺少了基础知识，所以他们做不出来。

这道题考查了函数与方程的思想，需要把方程的根转化为函数的零点处理。证明过程如下。

【证明】：假设方程 $x^3+x-1=0$ 的所有根都小于 0。

令 $f(x)=x^3+x-1$，则 $f'(x)=3x^2+1>0$，

∴ $f(x)$ 在定义域 $\mathbb{R}$ 上单增。

由题意，$f(x)$ 是初等函数，在定义域上连续。

又∵ $f(0)=-1,\ f(1)=1$，

∴根据零点定理，$\exists x_0 \in (0,1)$，使得 $f(x_0)=0$，

即方程 $x^3+x-1=0$ 有一个根 $x_0 \gt 0$，与假设相反。

∴假设错误，即方程 $x^3+x-1=0$ 至少有一个大于 0 的根。

---

图片版权

题图： 用 WolframAlpha 绘制

头图：https://pixabay.com/zh/photos/munich-olympic-stadium-tv-tower-2516492/